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标题: 普朗克标准和普朗克时间 [打印本页]

作者: 遇见时光 时间: 2022-9-11 03:10
标题: 普朗克标准和普朗克时间
1. 弁言

1899年，德国物理学家、量子理论的开山鼻祖马克斯·普朗克 (Max Planck) 提出了一套特殊的单位制。他试图通过三个我们宇宙中的根本物理学常数：光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数来构建长度、时间、质量、能量等根本物理量的根本单位，这些根本单位统称为普朗克量。

马克斯·普朗克（1858—1947）

通过量纲分析，普朗克发现唯一大概的具有对应量纲的物理量为

普朗克时间
普朗克标准
普朗克质量
普朗克能标

等等。单纯从数值上来看，这些普朗克量很“非常”，它们对应了极短的时间标准，极短的空间标准，极高的能量标度。
一种常见于科普文中的说法是它们都表征了我们这个宇宙中的某种“极限”数值，比方普朗克时间和普朗克标准是我们宇宙中时间和空间的最小不可分割单位，普朗克能标是我们宇宙中所能到达的最高能标，等等。
然而，这种说法着实是不精确的，大概至少是不严谨的。我们接下来将从一些（至少看起来）更深刻的方面去观察普朗克量的真正寄义。

从普朗克标准到哈勃标准
一颗放心丸：本文仍旧是科普文，为了平凡我们将放弃一些不须要的严格性并略去全部的公式推导，以是读者可以放心地看下去。
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2. 普朗克量中的根本常数

起首我们来观察构成这些普朗克量的三个根本物理学常数：光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数，在国际单位制下它们的数值分别为

这三个常数在物理学中极其根本和紧张，由于它们分别是相对论、量子力学和引力理论的代言人。

2.1 光速

1905 年爱因斯坦创建了狭义相对论，完全地办理了麦克斯韦方程组和伽利略天下观之间的抵牾：时间和空间应该是平权的，它们随着惯性系的改变而一起 “协同地变更”。狭义相对论最紧张的一个假设就是光速巨细不随观者厘革，在全部的惯性系中光速都是一个常数。

任何惯性参考系中测到的光速巨细是一样的
从这个假设出发，我们能推出惯性系之间的时空坐标变更必须保持如下的四维时空隔断稳固

进一步我们能推出惯性系之间时空坐标变更的定量关系，也就是洛伦兹变更。狭义相对论的一个紧张推论就是它同一了质量和能量的概念。对于一个质量为的静止的物体，其能量由质量和光速平方的乘积给出

容易看出，上面界说的普朗克能标和普朗克质量之间也满足如许的关系

由于光速 c 是一个对全部惯性观者都稳固的常数，以是谈到某个物体的质量和能量时我们完全可以将其视为一回事。大概等价地，对能量的单位做一个重新标度 (rescale)，我们可以将光速设为1，这就是所谓的自然单位制。自然单位制的利益是全部的物理量的量纲都可以化为能量量纲的幂次，这对于标度估算极其方便。在自然单位制下，普朗克能标和普朗克质量就完满是一回事了，

同时，普朗克标准和普朗克时间也完满是一回事了，由于普朗克标准就是光在普朗克时间内走过的隔断

2.2 普朗克常数

上面通过将光速设为 1，我们同一了普朗克能标和普朗克质量，也同一了普朗克时间和普朗克标准，那么普朗克能标 (质量) 和普朗克时间 (标准) 之间有什么关系呢？这将不得不涉及到统治微观天下的量子理论。

普朗克量之间的关系
1900年，为相识释黑体辐射的实验，普朗克假设黑体不能像经典物理中那样一连地辐射和吸取能量，对于角频率为  的电磁波，其辐射和吸取的最小能量单位为

此中是一个和频率无关的极小常数，被称为约化普朗克常数。普朗克的这种 “能量以  为根本单位举行量子化“ 的假设非常完善地表明白黑体辐射的实验曲线，并在之后成为了量子理论的开端。
1924年，德布罗意 (de Broglie) 提出实物粒子也具有颠簸性，其动量 p 和波长 \lambda 之间的关系为

对于一个质量为  的实物粒子，我们总可以界说一个特性波长，被称为粒子的康普顿波长 (Compton wavelength)

康普顿波长的寄义是：如果我们将一个粒子的位置确定到它的康普顿波长以内，那么具有的能量涨落将大到足以再产生一个如许的粒子。这是由于根据海森堡的不确定性关系，我们没法同时确定一个粒子的位置和动量 (能量)，它的位置确定得越准确，其动量 (能量) 的不确定度就越大，它们不确定度的乘积大概是的量级。如果我们将一个粒子的位置精确到其康普顿波长以内，那么由此带来的能量不确定度将大于这个粒子的静止能量，这么大的能量足以从真空中再产生一个如许的粒子。
从康普顿波长的界说我们容易发现，普朗克标准正是一个具有普朗克质量的粒子所具有的康普顿波长

大概从不确定关系的角度出发，当我们把时间确定到普朗克时间以内，其能量具有的不确定度将到达普朗克能标

出于和把光速设为1一样的缘故原由，在自然单位制下我们也把约化普朗克常数设为1，如许普朗克能标 (质量) 和普朗克时间 (标准)之间就成了简朴的倒数关系

普朗克量之间的关系

2.3 牛顿引力常数

在经典物理期间，人们最引以为豪的结果就是能用同一个公式来盘算天地万物之间的引力。对于两个质量分别为和，相距为的质点，它们之间的引力由牛顿万有引力公式形貌

此中的负号代表了吸引力，是一个和物体性子无关的常数，被称为牛顿引力常数，它形貌了物体间万有引力的强弱。牛顿的引力理论在遇到强引力场时会失效，它被爱因斯坦的广义相对论所更换，在广义相对论中，引力被形貌为时空的弯曲。

引力=时空的弯曲
和牛顿时空观差别的是，广义相对论中的时空不再是物质演化的配景舞台，而是会影响物质的分布，反过来物质的分布也会影响时空的多少。物质和时空交织耦合在了一起，“物质告诉时空怎样弯曲，时空告诉物质怎样运动”，物质和时空之间的这种 “爱恨情仇” 在定量上由爱因斯坦场方程形貌

此中方程左边的是爱因斯坦张量，它描绘了时空的多少性子，而方程右边的是能动张量，它对应了物质的分布。

支配我们宇宙运行的方程：爱因斯坦引力场方程
我们可以看到，在广义相对论中又一次出现了牛顿引力常数的身影，它现在描绘了物质和时空之间耦合的强度。牛顿引力常数的再次出现是很自然的结果，由于在弱引力极限下，广义相对论必须要退化为牛顿的引力理论。以是有引力出现的地方，就肯定有。我们在背面可以看到，这个形貌引力的常数，毕竟是怎样同我们宇宙中的“极限”量——普朗克量接洽起来的。

2.4 WHY?

上面我们通太过析构成普朗克量的三个根本常数，讨论了差别普朗克量之间的关系，我们发现它们着实都是相互称价的，知道了此中一个，也就知道了其他几个。特殊地，在自然单位制下，它们之间就是简朴的相称大概倒数关系。
那么接下来，我们要问一个根本的题目：Why？为何通过，和的幂次组合就能得到我们宇宙中的“极限”数值呢？

为啥捏？
一种常见的argument是光速，约化普朗克常数和牛顿引力常数都是很根本的物理学常数，它们分别形貌了相对论、量子力学和引力的根天性子，而这三个根本常数通过量纲分析能组合出的唯一具有精确量纲的量就是上面列出的这些普朗克量。
如许的表明充其量只能分析普朗克量也应该是很根本的物理量，而且很有大概同时蕴含了量子理论和引力的信息，但并没有复兴题目的本质，即它们为何是我们宇宙中的“极限"量？
在接下来的两节中，我们将分别从引力和量子场论的角度，来观察普朗克量的“极限”之处。
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3. 黑洞：对不起我不能再轻了

广义相对论最大的结果之一就是预言了黑洞——一种引力极大、极其致密以至于连光都没法逃脱其束缚的奇特天体的存在。在爱因斯坦1915年发表他的广义相对论后的短短一年，就由德国物理学家史瓦西 (Schwarzschild) 解出了场方程的第一个分析解——史瓦西解。这个解预言了球对称、不带电、不自转的黑洞的存在，这类最简朴的黑洞被称为史瓦西黑洞。对于一个质量为的史瓦西黑洞，它的 “半径” (视界) 由下式给出

这被称为史瓦西半径，它碰巧就即是当年拉普拉斯所预言的“暗星” 的半径。将一个物体保持质量稳固并压缩到它的史瓦西半径以下，那它就成了一个黑洞。我们现在观察一个质量为的史瓦西黑洞，并令它的半径即是它的康普顿波长

我们发现其对应的质量恰恰就是普朗克质量！

这意味着普朗克质量是最小的能稳固存在的黑洞的质量，由于如果黑洞的质量小于普朗克质量，其对应的史瓦西半径将小于它的康普顿波长，按照上面一节的叙述，这将产生充足大的能量涨落来从真空中天生另一个黑洞，从而这个黑洞不能稳固存在。

普朗克量之间的关系
从另一个角度来讲，普朗克能量也是对撞机实验所能探测到的能量极限。我们知道，对撞机的对撞能量越高，所能探测到的标准就越小。当对撞能量到达普朗克能量时，其探测到的标准将可以准确到普朗克标准，它在数值上恰恰即是一个普朗克质量的黑洞的史瓦西半径 (忽略一些常数因子)

进一步地，如果对撞性能量大于普朗克能量，其探测到的标准将小于对应质量的黑洞的史瓦西半径，即

这相称于把质量为 M 的物体压缩到了其史瓦西半径之下，从而会带来劫难性的结果：对撞会产生黑洞！撞击处的四周会被黑洞的视界覆盖，我们无法得到此中任何的对撞信息。若继续进步能量，产生的黑洞质量会更大，其视界也会更大，从而我们无法观测的地区也会更大。以是，普朗克标准是通过对撞机探测微观天下的“极限分辨率”，小于这个标准的空间会由于黑洞的产生而无法观测。
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4. 有效理论——根本物理理论的失效

我们知道以量子场论为框架的标准模子相称乐成地形貌了电磁力、弱力和强力，而且标准模子被证实是可以重整化的。但是引力并没有被包罗进来，一个很紧张的缘故原由就是引力没法重整化，根源在于引力的耦合常数，即牛顿引力常数的量纲是能量量纲的 -2 次，而一个理论的耦合常数如果是负的，那么这个理论就不可重整。
不可重整的寄义是没办法引入有限多的抵消项来消除圈图盘算中的全部无穷大。一个不可重整的理论称为有效理论，意思是这个理论只在某个特定的能标以下有效，一旦高出这个能标，这个理论就失效了，这种能标的截断称为 cut off，cut off 的具体位置就由这个有效理论决定，着实就是由它的耦合常数决定。
比方早期的弱相互作用理论中的四费米子相互作用，其耦合常数：费米常数的量纲也是 -2，以是四费米子相互作用也是一个有效理论，一旦能标到达的时间，四费米子相互作用就失效了，必须要被更加完备的理论更换，厥后我们知道这就是电弱同一理论。
回到引力的题目来，在实验把经典引力举行重整化的时间，由于引力的耦合常数 G 的量纲是 -2，不可克制也要举行能标截断，截断的具体位置正是由牛顿引力常数决定。在自然单位制下，代入牛顿引力常数的值，你会发现这着实就是普朗克能标

以是，普朗克能标的真正寄义是：经典引力理论失效的地方。
而我们现在并没有一个乐成的量子引力理论，以是对于普朗克能标以上的物理，我们没有任何理论可以举行形貌。以是
普朗克能标也是我们现在的全部物理理论能形貌的最高的能标。
有了普朗克能标的值，通过简朴的换算就可以得到普朗克时间的值。在宇宙大爆炸发生后的普朗克时间内，即秒内，根据不确定关系，宇宙的温度要高于普朗克能标，上面已经分析过，在这个阶段我们没有任何有效的物理理论去形貌它，全部现有的物理规律全部失效，以是在这个意义上，普朗克时间才被称为是我们宇宙中最小的时间标准。

普朗克量的真正寄义
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5. 总结

本文的重要目的是想改正许多人关于“普朗克时间和普朗克标准是我们宇宙中的最小时空单位"的误解，以及由此产生的“我们的天下是离散化”的谬论。量子化绝不是时空的离散化，主流的物理理论仍旧对峙以为我们的时空是一连分布的，离散化的时空会粉碎最根本的洛伦兹对称性。末了，紧张的事变只说一遍，普朗克能标并不意味着宇宙中的最高能标，它只是我们现在已知的物理理论所能形貌的最高能标；普朗克标准也不是宇宙中的最小标准，它只是我们现在已知的物理理论所能形貌的最小标准。
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附注：

[1] 是微观天下中常用的能量标度，它即是十亿电子伏特。1电子伏特界说为一个电子通过1伏特的电场所得到的能量，它即是焦耳。对于微观天下，焦耳是一个过大的能量标度，以是我们更多接纳电子伏特。（打个比方：我们用光年权衡星系之间的隔断，用公里权衡地球上两地之间的隔断，用米权衡一个房间里两个人之间的隔断，用是否点击关注权衡我和你之间的隔断。）
[2] 原文为 “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move”，by John Wheeler。
[3] 严格来说会差一个因子，但这是无关紧急的。
[4] 重整化是一种消除无穷大的技能。由于物理可观丈量肯定是有限大的，物理学家无法容忍一个“无穷大”的可观丈量，但是量子场论的盘算中会出现大量的无穷大，以是他们须要一个体系的方案来从这些无穷大中提取出和实验观测符合的有限量。可以重整化是一个理论“完备性”的根本要求。
[5] 追念一下，在自然单位制中，全部物理量的量纲都可以转化为能量量纲的幂次——大概你现在能领会到自然单位制的良好性了。
[6] 有效理论的广泛性乃至远远超出量子场论和重整化的范畴，它的存在体现了物理规律随着能量标度分层体现的特点，即处于差别能标处的物理体系有其自身的规律，它们独立演化、互不干扰。固然，从原则上讲低能标处的物理规律可以由高能标处更根本的规律所决定，但当我们不知道高能标处规律的时间一样也可以通过有效理论来形貌低能标时间的物理规律并和实验符合得很好。正如在发射火箭时只须要牛顿力学而不消思量广义相对论，在煮咖啡时只须要热力学而不消思量构成咖啡分子的夸克之间的量子色动力学一样，许多时间我们只须要思量有效理论就充足了——它不完备，但是很有效。
[7] 凡事都有破例，作为量子引力的一个热门候选者，圈量子引力理论在一开始就放弃了空间一连性平静滑性的假定，通过守旧性地整合量子理论和广义相对论，它可以大概创建了一套自洽的理论——固然，那是别的一个故事了。在圈量子引力理论中，时空确实是离散化的，时空的最小根本单位大概就是普朗克时间和普朗克标准。扬弃时空一连性的圈量子引力看起来像是一个怪胎，但，大概它是对的呢？
<hr>本文首发于公众号 yubr，原文链接：普朗克标准和普朗克时间

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